Mengzelev's Blog

# 问求学习笔记-群论初步

Word count: 1,223 / Reading time: 6 min
2019/03/02 Share

# 群

## 整数等价类

1. 加法和乘法交换律
2. 加法和乘法结合律
3. 加法(0)与乘法(1)恒等式
4. 乘法分配律
5. 任意元素都存在加法逆元
6. $a$为非零整数，$gcd(a,n)=1$当且仅当$a$存在乘法逆元，即存在非零整数$b$，使得$ab\equiv 1(mod n)$

(虽然我觉得这玩意儿记了应该没什么卵用)
【复习时的我回来打脸了

## 定义

• 二元运算(binary operation)或合成律(law of composition):a function $G\times G\to G$ that assigns to each pair $(a,b)\in G\times G$ a unique element $a\circ b$, or $ab$ in $G$, called the composition of $a$ and $b$
• 群(group): a set $G$ together with a law of composition $(a,b)\mapsto a\circ b$ that satisfies the following axioms:
1. 合成律满足结合律(asscociative)
2. 存在单位元(identity element)$e\in G$，满足$e\circ a = a\circ e = a$
3. 对于每个$a\in G$，都存在逆元$a^{-1}$，使得$a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$
• 群 = 运算封闭+结合律+单位元+逆元
• 阿贝尔群(Abelian)或交换群(commutative):满足$a\circ b=b\circ a$的群，反之为nonabelian或noncommutative
• 凯莱表(Cayley table):用加法或乘法描述群的表格
• 可逆元素群(group of units): 拥有逆元的元素组成的群
• 一般线性群(general linear group)
• 四元群(quaternion group)
• 群是有限的(finite)，或者说有有限序数(has finite order)，当它具有有限个元素，否则是无限的(infinite)或有无限序数(infinite order)

## 子群

• 子群(subgroup):仿照子空间的定义
• 平凡子群(trivial subgroup):$H={e}$
• 真子群(proper subgroup)
• 子群必须继承群的二元运算

### 子群相关的定理

1. $G$的单位元$e\in H$
2. $H$对$G$的运算封闭：If $h_1,h_2\in H$, then $h_1h_2\in H$
3. If $h\in H$, then $h^{-1}\in H$

# 循环子群(Cyclic Subgroups)

The order of $a$: 最小的整数$n$满足$a^n=e$，表示为$|a|=n$。如果不存在满足要求的$n$，则称$a$是无穷的(infinite)，表示为$|a|=\infty$
e.g. $\mathbb{Z}$和$\mathbb{Z}_n$都是循环群，1和-1是$\mathbb{Z}$的生成器，1是$\mathbb{Z}_n$的生成器但不一定是唯一的。

for $G$. Then $a^k = e$ if and only if $n$ divides $k$.($n$能整除$k$,$k$能被$n$整除)

of the group. If $b = a^k$, then the order of $b$ is $n/d$, where $d = gcd(k, n)$.

$gcd(r,n) = 1$. $\mathbb{Z}_n$的生成器与$n$互质。

## 复数乘法群(Multiplicative Group of Complex Numbers)

$r(\cos\theta+i\sin\theta)$ 会被简写为 $r~cis\theta$

### 圆群(The circle group)

where $k-0,1,…n-1$. Furthermore, the nth roors of unity form a cyclic subgroup of $\mathbb{T}$ of order $n$.

A generator for the group of the nth roots of unity is called a primitive nth root of
unity
.

## 重复平方法(The Method of Repeated Squares)

$(a^{2n})^2\equiv a^{2\cdot 2n}\equiv a^{2^{n+1}}(\mod n)$