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问求学习笔记-群同构基本定理与正规子群

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2019/03/14 Share

同构(Isomorphisms)

定义

对两个群$(G,\cdot)$和$(H,\circ)$,若存在一个保群运算的双射$\phi:G\to H$,即对于任意$a,b\in G$
$$\phi(a\cdot b)=\phi(a)\circ\phi(b)$$
则称$G$和$H$同构(isomorphic),记作$G\cong H$. $\phi$称为同构函数(isomorphism)

基本定理

定理9.6: Let $\phi: G\to H$ be an isomorphism of two groups. Then the following statements are true.

  1. $\phi^{-1}:H\to G$ is an isomorphism (废话)
  2. $|G|=|H|$ (废话)
  3. If $G$ is abelian, then $H$ is abelian.
  4. If $G$ is cyclic, then $H$ is cyclic.
  5. If $G$ has a subgroup of order $n$, then $H$ has a subgroup of order $n$.

定理9.7: All cyclic groups of infinite order are isomorphic to $\mathbb{Z}$. 无穷阶循环群与$\mathbb{Z}$同构。

定理9.8: If $G$ is a cyclic group of order $n$, then $G$ is isomorphic to $\mathbb{Z}_n$.

推论9.9: If $G$ is a group of order $p$, where $p$ is a prime number, then $G$ is isomorphic to $\mathbb{Z}_p$. (不需要是循环群)

定理9.10: The isomorphism of groups determines an equivalence relation on the class of all groups. 群的同构关系将群划分成等价类。

Cayley’s Theorem

定理9.12(Cayley定理): Every group is isomorphic to a group of permutations. 任意群都与一个置换群同构。

The isomorphism $g\mapsto \lambda_g$ is known as the left regular representationof G.

直积(Direct Products)

qlz管它叫直和

外直积

定义运算$$G\times H: (g_1,h_1)(g_2,h_2)=(g1\cdot g_2, h_1\circ h_2)$$

命题9.13: Let $G$ and $H$ be groups. The set $G\times H$ is a group under the operation $(g_1,h_1)(g_2,h_2)=(g1\cdot g_2, h_1\circ h_2)$ where $g_1, g_2\in G$ and $h_1, h_2\in H$.

群$G\times H$称为$G$和$H$的外直积(external direct product)

定理9.17: 设$(g,h)\in G\times H$. 若$g$和$h$分别为有限阶$r$和$s$,则$(g,h)$在$G\times H$中的阶数是$r$和$s$的最小公倍数(least common multiple)

推论9.18: 设$(g_1,…g_n)\in \prod G_i$. 若$g_i$在$G_i$中为有限阶$r_i$,则$(G-1,..g_n)$在$\prod G_i$中的阶数为$lcm(r_1,…r_n)$.

定理9.21: 群$\mathbb{Z}_m\times\mathbb{Z}n$与$Z{mn}$同构当且仅当$m,n$互质($gcd(m,n)=1$). (From定理9.17)

推论9.22: $n_1,…n_k$为正整数,则$\prod\limits_{i=1}^{k}\mathbb{Z}_{n_1…n_k}$当且仅当$gcd(i,j)=1$对任意$i\neq j$恒成立。

内直积(Internal Direct Product)

外直积把小群组建成大群,内直积把大群打碎成小群

群$G$拥有子群$H,K$满足以下条件:

  • $G=HK={hk:h\in H, k\in K}$
  • $H\cap K={e}$
  • $hk=kh$ for all $k\in K$ and $h\in H$

称$G$是$H$和$K$的内直积

不是所有的群都可以写成其真子群的内积的形式

定理9.27: 设$G$是其子群$H$和$K$的内直积,则$G$与$H\times K$同构。(外直积群与内直积群同构)

推广到多维:

  • $G=H_1H_2…H_n={h_1h_2…h_n:h_i\in H_i}$
  • $H_i\cap\left\langle \cup_{j\neq i}H_j\right\rangle={e}$
  • $H_ih_j=h_jh_i$ for all $h_i\in H_i$ and $h_j\in H_j$

定理9.29: 若$G$是其子集$H_i(i=1,2,…n)$的内直积,则$G$与$\prod_i H_i$同构

正规子群(Normal Subgroups)

若对任意$g\in G$有$gH=Hg$, 则称$H$是$G$的正规子群。(左陪集与右陪集相同)
交换群的所有子群都是正规的。

定理10.3: 设$N$为$G$的子群,则如下命题等价:

  1. $N$是$G$的正规子群
  2. $\forall g\in G, gNg^{-1}\subseteq N$.
  3. $\forall g\in G, gNg^{-1}=N$.

商群(Factor Group)

定理10.4: $N$为$G$的正规子群,$N$在$G$中的陪集构成了一个群$G/N$, 阶为$[G:N]$(复习: $[G:N]=|G|/|N|$). 该群的运算为$(aN)(bN)=abN$.
这个群被称为商群(fatcor or quotient group).
$eN=N$是单位元,$g^{-1}N$是$gN$的逆元。
商群是集合组成的群。
简记为$N\triangleleft G$

对于正多边形旋转群$D_n$, 旋转群$R_n$是$D_n$的一个正规子群。

交替群的简单性

单群(simple group): 没有非平凡正规真子群的群 e.g.$\mathbb{Z}_p$($p$为质数)

引理10.8: 替换群$A_n(n\ge 3)$是由3-cycles生成的。

引理10.9: $N$是$A_n(n\ge 3)$的正规子群.若$N$包含了一个3-cycle,则$N=A_n$.

引理10.10: 对$n\ge 5$, $A_n$的每一个非平凡正规子群$N$都包含一个3-cycle.

引理10.11: $n\ge 5$的替换群$A_n$是单群。

同态(homomorphism)

两个群$(G,\cdot)$和$(H,\circ)$间的同态函数是一个映射$\phi:G\to H$,满足$\phi(g_1\cdot g_2)=\phi(g_1)\circ\phi(g_2)$,其中$g_1,g_2\in G$.
$\phi$在$H$中的值域被称为同态像(homomorphism image).
若$\phi$是双射,则$G$和$H$同构。

命题11.4: 设$\phi:G_1\to G_2$是群间的同态函数,则

  1. 若$e$是$G_1$的单位元,则$e$是$G_2$的单位元
  2. 对于任意$g\in G_1$, $\phi(g^{-1})=[\phi(g)]^{-1}$
  3. 若$H_1$是$G_1$的子群,则$\phi(H_2)$是$G_2$的子群
  4. 若$H_2$是$G_2$的子群,则$\phi^{-1}(H_2)={g\in G_1: \phi(g)\in H_2}$是$G_1$的子群。此外,若$H_2$是$G_2$的正规子群,则$\phi^{-1}(H_2)$是$G_1$的正规子群

由命题11.4知,$\phi^{-1}({e})$是$G$的子群,这个子群被称为$\phi$的核(kernel),记为$ker\phi$. 该子群是正规的。

定理11.5: 设$\phi:G\to H$是群的同态函数,则$\phi$的核是$G$的一个正规子群
潜台词:对于每一个同态函数都能找到一个正规子群$ker\phi$

核函数可以用来推测两个群间是否存在单射同态函数。(e.g. Example11.9 $\mathbb{Z}7$与$\mathbb{Z}{12}$不存在单射同态函数)

同态定理

设$H$是$G$的正规子群。定义自然同态函数规范同态函数(natural or canonical homomorphism) $$\phi:G\to G/H$$为$$\phi(g)=gH$$
该同态函数的核为$H$

定理11.10(第一同态定理): 若$\varphi:G\to H$是核为$K$的同态函数, 则$K$是$G$的正规子群。设$\phi:G\to G/K$是规范同态函数。则存在唯一的同构函数$\eta:G/K\to\varphi(G)$使得$\varphi=\eta\phi$

规范同态函数产生的商群与原同态函数的像同构

定理11.12(第二同态定理): 设$H$是$G$的子群(不需要正规),$N$是$G$的正规子群,则$HN$是$G$的子群,$H\cap N$是$H$的正规子群,且
$$H/H\cap N\cong HN/N$$

定理11.13(一致性定理): 设$N$是$G$的正规子群,则$H\mapsto H/N$是包含$N$的子群$H$的集合与$G/N$的子群的集合间的一对一关系。此外,包含$N$的$G$的正规子群与$G/N$的正规子群相对应。

wiki上的解释

定理11.14(第三同构定理): 设$N$和$H$是$G$的正规子群满足$N\subseteq H$,则$$G/H\cong\frac{G/N}{H/N}$$. (可以当成分数来直观理解)

CATALOG
  1. 1. 同构(Isomorphisms)
    1. 1.1. 定义
    2. 1.2. 基本定理
    3. 1.3. Cayley’s Theorem
  2. 2. 直积(Direct Products)
    1. 2.1. 外直积
    2. 2.2. 内直积(Internal Direct Product)
  3. 3. 正规子群(Normal Subgroups)
  4. 4. 商群(Factor Group)
  5. 5. 交替群的简单性
  6. 6. 同态(homomorphism)
  7. 7. 同态定理